Exercices types : exemples d'applications linéaires

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Contenu du cours

Exercice 1

S

Soit $E=\mathbb{R}^3$. Soient $F=\left\{(x,y,z)\in E, x+y=z\right\}$ et $G=\left\{(x,y,z)\in E, x=y=z\right\}$.

1. Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$.

2. Exprimer la projection sur $F$ parallèlement à $G$, et celle sur $G$ parallèlement à $F$.

Exercice 2

Soit $E$ l'espace vectoriel des suites $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ convergentes.

Soit $F$ le sous espace vectoriel des suites de $E$ tendant vers $0$.

Soit $G$ le sous espace vectoriel des suites constantes de $E$.

Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ et exprimer la projection sur $F$ parallèlement à $G$.